Herkapalıeğribirçembertoplamıdır

Çemberlerle çizmek#

Düzlemdeki kapalı bir eğriyi karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim: $z(t) = x(t) + i\,y(t)$, $t \in [0, 1)$. Eğriyi $N$ eşit aralıklı noktada örnekleyip ayrık Fourier dönüşümünü alırsak her $k$ frekansı için bir katsayı elde ederiz:

$$c_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} z_n \, e^{-2\pi i k n / N}$$

Geri dönüşüm, eğriyi dönen vektörlerin toplamı olarak yazar:

$$z(t) \approx \sum_{k=-K}^{K} c_k \, e^{2\pi i k t}$$

Her terim bir çemberdir: yarıçapı $|c_k|$, başlangıç açısı $\arg c_k$, dönüş hızı $k$. Çemberleri uç uca eklediğinizde son çemberin ucu eğrinizi çizer. Terimleri genliğe göre sıralarsanız, ilk birkaç çember kaba biçimi, kalanlar ayrıntıyı taşır.

L-04Fourier Epidöngüleri

Tam ekran ↗

Canlı deney · kaydırınca başlar

Gibbs olgusu#

Köşeli bir şekli sonlu sayıda terimle yaklaşık olarak çizdiğinizde, köşelerin yakınında inatçı bir taşma görürsünüz. Terim sayısı arttıkça taşma daralır ama küçülmez: sıçrama yüksekliğinin yaklaşık %9'unda sabit kalır. Sonlu bir Fourier serisi süreksizliği asla tam yakalayamaz; yalnızca etkisini daha dar bir bölgeye sıkıştırır.

Dikdörtgenlerden alana#

Riemann toplamı, $[a, b]$ aralığını $n$ parçaya böler ve her parçada fonksiyonu sabit sayar:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b - a}{n}$$

Limit tanım gereği aynıdır, ama yakınsama hızı örnek noktasının nasıl seçildiğine bağlıdır. Sol ya da sağ uç kuralında hata $O(1/n)$ ile azalır. Orta nokta ve yamuk kuralları $O(1/n^2)$'ye çıkar, çünkü birinci dereceden hata terimleri birbirini götürür. Simpson kuralı fonksiyonu parçalı parabollerle yaklaştırır ve $O(1/n^4)$'e ulaşır:

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{3}\Bigl[\, & f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots \\ & + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Bigr] \end{aligned}$$

Pratikte bu şu anlama gelir: $n$'yi on katına çıkardığınızda sol uç kuralı bir basamak, yamuk kuralı iki basamak, Simpson dört basamak doğruluk kazanır. Log–log grafikte hata eğrilerinin eğimleri tam olarak $-1$, $-2$ ve $-4$'tür.

L-05Riemann'dan İntegrale

Tam ekran ↗

Canlı deney · kaydırınca başlar

Neden önemli?#

Simülatörlerimizdeki her diferansiyel denklem sonunda bir toplamdır. Euler–Maruyama adımı bir sol uç kuralıdır; Runge–Kutta 4 ise Simpson kuralının diferansiyel denklemlerdeki akrabasıdır. Hangi yöntemi seçtiğiniz, aynı doğruluk için kaç adım atmanız gerektiğini, dolayısıyla bir parametre taramasının dakikalar mı yoksa günler mi süreceğini belirler.