Milyondabirradyanınhikâyesi

Hareket denklemleri#

Eşit kütleli ($m_1 = m_2 = m$) ve eşit uzunluklu ($L_1 = L_2 = L$) iki sarkacı Lagrange mekaniğiyle yazdığımızda, açılar $\theta_1$ ve $\theta_2$ için iki bağlaşık, doğrusal olmayan denklem elde ederiz. Kısaltmalar $\Delta = \theta_1 - \theta_2$, $M = m_1 + m_2$ ve $\Lambda = 2m_1 + m_2 - m_2\cos 2\Delta$ olmak üzere genel biçim:

$$\begin{aligned} \ddot\theta_1 &= \frac{1}{L_1 \Lambda}\Big[-g(2m_1 + m_2)\sin\theta_1 - m_2 g \sin(\theta_1 - 2\theta_2) \\ &\qquad\quad - 2\sin\Delta\; m_2\big(\dot\theta_2^2 L_2 + \dot\theta_1^2 L_1 \cos\Delta\big)\Big] \end{aligned}$$ $$\ddot\theta_2 = \frac{2\sin\Delta}{L_2 \Lambda}\Big[\dot\theta_1^2 L_1 M + g M\cos\theta_1 + \dot\theta_2^2 L_2 m_2 \cos\Delta\Big]$$

Bu denklemlerin kapalı biçimli bir çözümü yoktur; sayısal olarak integre ederiz. Deneydeki her sarkaç dördüncü mertebeden Runge–Kutta ile ilerler ve toplam enerjideki sapma, yöntemin ne kadar sadık kaldığını gösterir.

L-09Kaos: Çift Sarkaç Sürüsü

Tam ekran ↗

Canlı deney · kaydırınca başlar

Öngörülebilirlik ufku#

İki yakın yörünge arasındaki fark ortalama olarak üstel büyür: $\delta(t) \approx \delta_0\, e^{\lambda t}$. Buradaki $\lambda$, en büyük Lyapunov üstelidir. Başlangıç belirsizliği $\delta_0$ olan bir sistemi, kabul edilebilir hata $\Delta$'ya kadar öngörebileceğimiz süre:

$$t_{\text{ufuk}} \approx \frac{1}{\lambda} \ln\frac{\Delta}{\delta_0}$$

Logaritma acımasızdır: başlangıç ölçümünü bin kat iyileştirmek, öngörü süresine yalnızca $\ln 1000 / \lambda \approx 6{,}9/\lambda$ ekler. Hava tahmininin iki haftayı aşamamasının, bir çift sarkacın birkaç saniye sonra öngörülemez hâle gelmesinin nedeni budur.